Jaké druhy šišek existují?

Válec je těleso ohraničené válcovou plochou a dvěma kružnicemi s hranicemi $M$ a $M_1$. Válcová plocha se nazývá boční plocha válce a kružnice se nazývají základny válce.

Tvořící přímky válcové plochy se na obrázku nazývají generátory válce, tvořící přímka je $L$.

Válec se nazývá přímý, pokud jsou jeho generátory kolmé k základnám. Axiální řez válcem je obdélník, jehož jedna strana je rovna průměru základny a druhá je rovna výšce válce.

Základní pojmy a vlastnosti válce:

1. Základny válce jsou stejné a leží v rovnoběžných rovinách.
2. Všechny generátory válce jsou paralelní a stejné.
3. Poloměr válce je poloměr jeho základny ($R$).
4. Výška válce je vzdálenost mezi rovinami podstav (u rovného válce je výška rovna tvořící přímce).
5. Osou válce je segment spojující středy základen ($OO_1$).
6. Pokud se poloměr nebo průměr válce zvětší nkrát, pak se objem válce zvětší $n^2$krát.
7. Zvětší-li se výška válce m krát, pak se objem válce zvětší o stejnou hodnotu.
8. Pokud je hranol vepsán do válce, pak jeho základny budou stejné mnohoúhelníky vepsané do základny válce a boční hrany budou tvořit válec.
9. Pokud je válec vepsán do hranolu, pak jeho základny jsou stejné mnohoúhelníky popsané kolem základen válce. Roviny čel hranolu se dotýkají bočního povrchu válce.
10. Pokud je koule vepsána do válce, pak je poloměr koule roven poloměru válce a roven polovině výšky válce.

Povrch a objem válce.

Boční povrch válce se rovná součinu obvodu základny a její výšky.

Plocha povrchu válce se rovná součtu dvou základních ploch a boční plochy.

Objem válce se rovná součinu plochy základny a výšky.

Objem části válce, na jejímž základně leží sektor: $V=/$, kde $n°$ je míra stupně středového úhlu oříznutí daného sektoru.

Válec je popsán kolem koule. Objem válce je 30 $. Najděte objem koule.

Pokud je koule vepsána do válce, pak se poloměr válce rovná poloměru koule a výška válce je dvojnásobkem poloměru koule.

Zapišme si vzorce pro objem válce a koule.

Dále musíme porovnat, kolikrát je objem válce větší než objem koule, abychom to udělali, vydělíme objemy navzájem.

Objem válce je $1.5$ krát větší než objem koule, takže pro zjištění objemu koule je třeba objem válce vydělit $1.5$.

Kužel (kruhový kužel) je těleso, které se skládá z kružnice, bodu neležícího v rovině této kružnice a všech segmentů spojujících daný bod s body kružnice.

Segmenty spojující vrchol kužele s body základní kružnice se nazývají generátory a jsou označeny (l).

Výška kužele je kolmice sestupující z jeho vrcholu k rovině základny. Osa přímého kužele a jeho výška jsou stejné.

$SO$ je výška a osa kužele.

1. Všechny generátory kužele jsou si rovny.
2. Axiální řez kuželem je rovnoramenný trojúhelník, jehož základna se rovná dvěma poloměrům a strany jsou stejné jako generátory kužele.
3. Je-li boční povrch kužele půlkruh, pak osový řez je rovnostranný trojúhelník, úhel na vrcholu je $60°$.
4. Pokud se poloměr nebo průměr kužele zvětší nkrát, pak se jeho objem zvětší $n^2$krát.
5. Zvětší-li se výška kužele m krát, pak se objem kužele zvětší o stejnou hodnotu.

Povrch a objem kužele.

Plocha bočního povrchu kužele se rovná součinu poloviny obvodu základny a tvořící čáry.

Plocha povrchu kužele se rovná součtu plochy základny a plochy boční plochy.

Objem kužele se rovná jedné třetině součinu plochy základny a výšky.

Objem části kužele, na jehož základně leží sektor: $V=/$, kde $n°$ je míra stupně středového úhlu odříznutí daného sektoru.

Koule je plocha sestávající ze všech bodů v prostoru umístěných v dané vzdálenosti ($R$) od daného bodu (střed koule $O$).

Těleso ohraničené koulí se nazývá koule.

Axiální řez koulí je kruh, jehož poloměr se rovná poloměru koule. Axiální řez je největší kruh koule.

Povrch koule: $S_=4π·R^2=π·d^2$, kde $R$ je poloměr koule, $d$ je průměr koule

Objem koule: $V=/=/$, kde $R$ je poloměr koule, $d$ je průměr koule.

Pokud se poloměr nebo průměr koule zvětší nkrát, pak se povrch zvětší $n^2$krát a objem $n^3$krát.

Pythagorova věta

V pravoúhlém trojúhelníku se součet čtverců nohou rovná čtverci přepony.

Vztah mezi stranami a úhly v pravoúhlém trojúhelníku:

V pravoúhlém trojúhelníku $ABC$ s pravým úhlem $C$:

Pro ostrý úhel $B: AC$ je protilehlá strana; $BC$ je sousední větev.

Pro ostrý úhel $A: BC$ je protilehlá strana; $AC$ je sousední větev.

1. Sinus ($sin$) ostrého úhlu pravoúhlého trojúhelníku je poměr protilehlé strany k přeponě.
2. Kosinus ($cos$) ostrého úhlu pravoúhlého trojúhelníku je poměr přilehlé strany k přeponě.
3. Tangenta ($tg$) ostrého úhlu pravoúhlého trojúhelníku je poměr protilehlé strany k sousední straně.

Hodnoty goniometrických funkcí některých úhlů:

$α$	$ 30 $	$ 45 $	$ 60 $
$sinα$	$/$	$/$	$/$
$cosα$	$/$	$/$	$/$
$tgα$	$/$	$ 1 $	$√3 $
$ctgα$	$√3 $	$ 1 $	$/$

Známky podobnosti trojúhelníků:

1. Pokud se dva úhly jednoho trojúhelníku rovnají dvěma úhlům jiného trojúhelníku, pak jsou takové trojúhelníky podobné.
2. Pokud jsou dvě strany jednoho trojúhelníku úměrné dvěma stranám jiného trojúhelníku a úhly mezi nimi jsou stejné, pak jsou takové trojúhelníky podobné.
3. Pokud jsou tři strany jednoho trojúhelníku úměrné třem stranám jiného trojúhelníku, pak jsou trojúhelníky podobné. Obvody podobných trojúhelníků a jejich lineární veličiny (mediány, osy, výšky) se k sobě vztahují jako koeficient podobnosti $k$. Poměr ploch dvou podobných trojúhelníků se rovná druhé mocnině koeficientu podobnosti.

Uvažujme libovolnou rovinu α, bod S neležící na rovině α a kolmici SO svrženou z bodu S do roviny α (bod O je základna kolmice). Uvažujme také libovolnou kružnici se středem v bodě O, ležící v rovině α.

Kužel nazvěme obrazec sestávající ze všech úseček spojujících bod S s body naznačené kružnice se středem v bodě O, ležícím v rovině α (obr. 1).

Bod S se nazývá horní část kužele.

Segment SO se nazývá osa kužele.

Vzdálenost od bodu S k rovině α (délka segmentu SO) se nazývají výška kužele.

Nazýváme kružnici se středem v bodě O, ležícím v rovině α základna kužele poloměr této kružnice se nazývá poloměr základny kužele, a nazývá se samotná rovina α rovina základny kužele.

Nazývají se úsečky spojující bod S s body kružnice tvořící kužel.

Sada všech generátorů kužele je boční plocha kužele (kuželová plocha).

Plný kuželový povrch sestává ze základny kužele a jeho boční plochy.

POZNÁMKA 1. Segment SO se často nazývá výška kužele.

POZNÁMKA 2. Všechny tvořící přímky kužele mají stejnou délku. Pro kužel o výšce h a poloměru základny r je délka generátorů rovna

Zkrácené kužely

Rovina β tedy rozděluje kužel na dvě části: kužel s osou SO₁ a poloměr základny r₁ , stejně jako druhá část, tzv komolý kužel (Obr. 3).

Komolý kužel je omezen dvěma důvodů: kružnice se středem v bodě O poloměru r v rovině α a kružnice se středem v bodě O₁ poloměr r₁ v rovině β a také boční povrch komolého kužele, který je součástí boční plochy původního kužele, uzavřeného mezi rovinami α a β. Celá plocha komolého kužele sestává ze dvou podstav komolého kužele a jeho boční plochy. Část každé tvořící přímky původního kužele, která se nachází mezi rovinami α a β, se nazývá tvořící čáru komolého kužele. Například na obrázku 3 je jednou z tvořících přímek komolého kužele segment AA₁ .

Výška komolého kužele je vzdálenost mezi rovinami podstav komolého kužele. Komolý kužel znázorněný na obrázku 2 má výšku h–h₁ .

Objem, plocha bočních a plných ploch kužele a komolého kužele

Pojďme si představit následující označení:

V	objem kužele (objem komolého kužele)
Sbok	boční povrch kužele (boční plocha komolého kužele)
Splný	celková plocha kužele (celkový povrch komolého kužele)
Shlavní	plocha základny kužele
Shorní základna	plocha horní základny komolého kužele
Sspodní základna	oblast spodní základny komolého kužele

Pak platí následující vzorce pro výpočet objemu, bočního a celkového povrchu kuželea vzorce pro výpočet objemu, bočního a celkového povrchu komolého kužele.

Vzorce pro objem, boční a celkový povrch:

Vzorce pro objem, boční a celkový povrch:

POZNÁMKA 3. Vzorec pro výpočet objemu kužele

lze získat ze vzorce pro objem pravidelné n – uhlíkové pyramidy

pomocí přechodu do limity, kdy počet stran pravidelného jehlanu n roste neomezeně. Důkaz této skutečnosti však přesahuje rámec školních osnov.

POZNÁMKA 4. Vzorec pro výpočet objemu komolého kužele

lze získat ze vzorce pro objem pravidelné komolé n-uhlíkové pyramidy

pomocí přechodu do limity, kdy počet stran pravidelného komolého jehlanu n neomezeně narůstá. Důkaz této skutečnosti však přesahuje rámec školních osnov.

Příručka matematiky pro školáky

• Aritmetika
• Algebra
• Trigonometrie
• Geometrie (planimetrie)
• Geometrie (stereometrie)
• Základy matematické analýzy
• Pravděpodobnost a statistika

Geometrie (stereometrie)

• Přímky a roviny v prostoru
  • Metody pro definování roviny v prostoru
  • Vzájemná poloha přímky a roviny v prostoru. Znak rovnoběžnosti mezi přímkou ​​a rovinou
  • Vzájemná poloha dvou čar v prostoru. Znamení překračování čar. Úhel mezi protínajícími se čarami
  • Vzájemná poloha dvou rovin v prostoru. Znaky rovnoběžných rovin
  • Vzájemná poloha tří rovin v prostoru
  • Dihedrální úhly. Úhly mezi rovinami. Kolmost rovin
  • Přímka kolmá k rovině. Znak kolmosti přímky a roviny. Vzdálenost od bodu k rovině
  • Ortogonální promítání přímky do roviny. Úhel mezi přímkou ​​a rovinou. Věta o třech kolmých
  • Vzdálenost mezi dvěma tvary
  • Společná kolmice na dvě protínající se čáry. Vzdálenost mezi křižujícími se čarami
  • Ortogonální promítání přímky do roviny. Úhel mezi přímkou ​​a rovinou. Věta o třech kolmých
  • Délka ortogonálního průmětu segmentu. Projektovaná plocha polygonu
  • Hranoly
  • Řezy hranolem kolmé řezy hranolem
  • Vzorce pro objem, boční povrch a celkový povrch hranolu
  • Pyramidy. Správné pyramidy. Eulerova věta. Vzorce pro objem, boční povrch a celkový povrch pyramidy
  • Zkrácené pyramidy. Eulerova věta. Vzorce pro objem, boční povrch a celkový povrch komolého jehlanu
  • Osmistěn. Objem a povrch osmistěnu
  • Koule a koule. Plocha koule a její části. Objemy míče a jeho částí
  • Vzájemná poloha koule a roviny v prostoru
  • Válec
  • Vzájemná poloha válce a roviny v prostoru
  • Šišky. Zkrácené kužely. Objem, plocha bočních a plných ploch kužele a komolého kužele

  Učební pomůcky pro školáky

  • Problémy s procenty
  • Čtvercový trojčlen
  • Rovinná souřadnicová metoda
  • Postup
  • Řešení algebraických rovnic
  • Řešení iracionálních nerovností
  • Řešení logaritmických nerovností
  • Řešení logaritmických rovnic
  • Řešení exponenciálních nerovností
  • Řešení exponenciálních rovnic
  • Řešení racionálních nerovností
  • Řešení goniometrických rovnic
  • Mocnina s racionálním exponentem
  • Soustavy rovnic
  • Trigonometrie v Jednotné státní zkoušce z matematiky
  • Rovnice a nerovnice s moduly
  • Obrazce na souřadnicové rovině definované nerovnostmi
  • А главную страницу
  • Naši partneři
  • Mapa stránek

  

  © “Resolventa – vzdělávací materiály”, 2009-2025