Jak víte, který klíč je potřeba pro matici?

Ve srovnání s jinými kódy umožňují lineární kódy implementaci efektivnějších algoritmů pro kódování a dekódování informací (viz syndromy chyb).

Formální definice

Definice:

Lineární kód délka [math]n[/math] a rank [math]k[/math] je lineární podprostor [math]C[/math] dimenze [math]k[/math] vektorového prostoru [math]mathbb_q^ n[/math ] , kde [math]mathbb_q[/math] je konečné pole (Galoisovo pole) prvků [math]q[/math]. Takový kód s parametrem [math]q[/math] se nazývá [math]q[/math] -ary code (například pokud [math]q = 5[/math] – pak je to 5- kód). Pokud [math]q = 2[/math] nebo [math]q = 3[/math], pak je kód binární kódNebo trojice resp.

Jsou volány vektory v [math]C[/math] kódová slova. Velikost kódu je počet kódových slov, tzn. [math]mathbb^k[/math] .

Hmotnost Počet nenulových prvků kódového slova se nazývá počet jeho nenulových prvků. Vzdálenost mezi dvěma kódovými slovy je definována jako Hammingova vzdálenost. Vzdálenost [math]d[/math] lineárního kódu je minimální váha jeho nenulových kódových slov nebo stejně tak minimální vzdálenost mezi všemi páry odlišných kódových slov.

Lineární kód délky [math]n[/math] , pořadí [math]k[/math] a se vzdáleností [math]d[/math] se nazývá [math][n,k,d]_q[/math] ] -code (anglicky) [n,k,d] kód). Parametr d v zápisu kódu je často vynechán, protože neurčuje strukturu kódu. V tomto případě jednoduše napíšou [math][n,k][/math] kód. V literatuře se označení vyskytuje jak v hranatých, tak v kulatých závorkách. [2] [3]

Matice generátoru

Definice:

Matice generátoru je matice, jejíž sloupce definují základ lineárního kódu.

Protože lineární kód je lineární podprostor [math]mathbb_q^n[/math] , lze celý [math]C[/math] kód (který může být velmi velký) reprezentovat jako lineární obal množiny [ math]k[/math] kódová slova (tj. základ). Tento základ se často kombinuje do sloupců matice [math]G[/math] a nazývá se taková matice generování matice kód [math]C[/math] .

V případě [matematický]tučný symbol = [I_k | P][/math] , kde [math]I_k[/math] je matice identity velikosti [math]k[/math] a [math]P[/math] je matice velikosti [matematický]k krát ( n – k)[/math] říkají, že matice [math]G[/math] je in kanonická forma.

Máme-li matici [math]G[/math], můžeme z nějakého vstupního vektoru [math]s[/math] získat kódové slovo [math]w[/math] lineárního kódu [math]C[/math]

kde [math]w[/math] a [math]s[/math] jsou řádkové vektory. Generující matice lineárního [matematického] [n, k, d]_q[/matematického] kódu má tvar [matematický]k krát n[/matematický] . Počet redundantních bitů je pak dán vztahem [math]r = n – k[/math] .

Zkontrolujte matici

Definice:

Kontrolní matice [math]H[/math] lineárního kódu [math]C[/math] je generátorová matice ortogonálního doplňku [math]C^perp[/math] . Jinými slovy, je to matice, která popisuje pravidla, která musí části kódového slova splňovat.

Používá se k určení, zda je vektor kódovým slovem, a také v dekódovacích algoritmech (např. dekódování syndromu).

Kódové slovo [math]c[/math] patří ke kódu [math]C[/math] právě tehdy, když [math]Hc^top = 0[/math] nebo, což je stejné, [math]cH^ top = 0[/matematický] .

Kontrolní matici lze získat z generující matice a naopak: generující matici [math]G[/math] nechť je uvedena v kanonickém tvaru [math]G = begin I_k | P end[/math] , pak kontrolní matici [math]H[/math] lze získat vzorcem

protože [math]GH^ = PP = 0[/math] .

Příklady kódování a dekódování

Předpokládejme, že existuje komunikační linka, po které můžeme odesílat a přijímat bity. V průměru bude nějaké známé procento přenášených bitů poškozeno, chybné. Tento model se nazývá binární symetrický kanál.

Blok [matematických]k[/matematických] symbolů zpráv [matematické]u = u_1u_2 u_k, u_i v [/math] bude zakódováno v kódové slovo [matematika]x = x_1x_2 x_n, x_i v [/matematické] , kde [matematické]n gt = k[/matematické] ; tato kódová slova tvoří kód.

První část kódového slova se skládá z informačních bitů zprávy:

[math]x_1 = u_1, x_2 = u_2, , x_k = u_k[/math] ,

následuje [math]n – k[/math] test bity [math]x_, , x_n[/math] . Paritní bity se volí tak, aby kódová slova splňovala rovnici

příklad

[math]begin H = left[ begin 011 & 100 101 & 010 110 & 001 konec vpravo] konec[/math]

definuje kód s [math]k = 3[/math] a [math]n = 6[/math] . Pro tento kód

Zpráva [math]u_1u_2u_3[/math] je zakódována do kódového slova [math]x = x_1x_2x_3x_4x_5x_6[/math] , které začíná samotnou zprávou:

[matematický] x_1 = u_1; x_2 = u_2; x_3 = u_3[/matematické] ,

a další tři kontrolní symboly [math]x_4x_5x_6[/math] jsou vybrány tak, aby byla splněna rovnice [math]Hx^ = 0[/math].

Pokud zpráva [matematický]u = 011[/matematický] , pak [matematický]x_1 = 0; x_2 = 1; x_3 = 1[/math] a kontrolní bity lze snadno určit: [math]x_4 = 0; x_5 = 1; x_6 = 1[/math] , takže kódové slovo je [math]x = 011011[/math] .

Minimální vzdálenost a korekční schopnost

Linearita zajišťuje, že Hammingova vzdálenost [math]d[/math] mezi kódovým slovem [math]c_0[/math] a jakýmkoli jiným kódovým slovem [math]c neq c_0[/math] nezávisí na [math]c_0[/math] ]. Protože [math]c – c_0[/math] je také kódové slovo a [math]d(c, c_0) = d(c – c_0, 0)[/math] , pak

Jinými slovy, pro nalezení minimální vzdálenosti mezi kódovými slovy lineárního kódu je nutné uvažovat nenulová kódová slova. Potom nenulové kódové slovo s minimální váhou bude mít minimální vzdálenost k nulovému kódovému slovu, čímž bude zobrazena minimální vzdálenost lineárního kódu.

Minimální vzdálenost kódu [math]d[/math] jednoznačně určuje počet chyb, které je tento kód schopen detekovat ( [math][over>][/math] ) a opravit ( [math]d – 1[/math] ]).

Syndromy a metoda detekce chyb v lineárním kódu

Jakýkoli kód (včetně nelineárního) lze dekódovat pomocí běžné tabulky, kde každá hodnota přijatého slova [math]overrightarrow[/math] odpovídá nejpravděpodobnějšímu přenášenému slovu [math]overrightarrow[/math] . Tato metoda však vyžaduje použití velkých tabulek pro kódová slova relativně krátké délky.

Pro lineární kódy lze tuto metodu výrazně zjednodušit. V tomto případě se pro každý přijatý vektor vypočítá [math]overrightarrow[/math] syndrom [math]overrightarrow=overrightarrow H^T[/math] . Protože [math]overrightarrow = overrightarrow + overrightarrow[/math] , kde [math]overrightarrow[/math] je kódové slovo a [math]overrightarrow[/math] je vektor chyby, pak [math]overrightarrow=overrightarrow H^T [/math] . Poté se pomocí tabulky syndromů určí chybový vektor, který se použije k určení přenášeného kódového slova. V tomto případě se tabulka ukáže být mnohem menší než při použití předchozí metody.

Výhody a nevýhody lineárních kódů

+ Díky linearitě stačí k zapamatování či vyčíslení všech kódových slov uložit do paměti kodéru nebo dekodéru jejich výrazně menší část, a to pouze ta slova, která tvoří základ odpovídajícího lineárního prostoru. To značně zjednodušuje implementaci kódovacích a dekódovacích zařízení a činí lineární kódy velmi atraktivními z hlediska praktických aplikací.

– Ačkoli lineární kódy mají tendenci dělat dobrou práci při řešení vzácných, ale velkých hromady chybjejich účinnost pro časté, ale malé chyby (například v kanálu s AWGN) je méně vysoká.

Poznámky

1. ↑William E. Ryan a Shu Lin (2009). Kódy kanálů: klasický a moderní. Cambridge University Press. p. 4. ISBN 978-0-521-84868-8.
2. ↑V. A. Lipnitsky, N. V. Chesalin – Lineární kódy a sekvence kódů: vzdělávací metoda. příručka pro studenty mechaniky a matematiky. fak. BSU. Minsk: BSU, 2008. – 41 s., s. 6
3. ↑McWilliams F.J., Sloan N.J.A. Teorie kódů pro opravu chyb: Trans. z angličtiny – M: Komunikace, 1979. – 744 s., s. 17

Zdroje informací

• wikipedia.org – Lineární kód
• wikipedia.org – Lineární kód
• McWilliams F. J., Sloan N. J. A. Theory of error-corpairing codes: Transl. z angličtiny – M: Communication, 1979. – 744 s., s. 12-33
• F.I. Solovyova – Úvod do teorie kódování
• V. A. Lipnitsky, N. V. Chesalin – Lineární kódy a sekvence kódů: vzdělávací metoda. příručka pro studenty mechaniky a matematiky. fak. BSU. Minsk: BSU, 2008. – 41 s.

Při řešení úloh ve vyšší matematice vzniká potřeba velmi často vypočítat determinant matice. Determinant matice se objevuje v lineární algebře, analytické geometrii, matematické analýze a dalších odvětvích vyšší matematiky. Bez dovednosti řešit determinanty se tedy jednoduše neobejdete. Pro vlastní testování si také můžete zdarma stáhnout kalkulačku determinantů, která vás sama o determinantech nenaučí, ale je velmi pohodlná, protože je vždy výhodné znát správnou odpověď předem!

Nebudu uvádět striktní matematickou definici determinantu a obecně se pokusím minimalizovat matematickou terminologii, což většině čtenářů neulehčí. Účelem tohoto článku je naučit vás řešit determinanty druhého, třetího a čtvrtého řádu. Veškerý materiál je prezentován v jednoduché a přístupné formě a dokonce i plná (prázdná) konvice ve vyšší matematice po pečlivém prostudování materiálu bude schopna správně vyřešit determinanty.

Determinant lze vypočítat pouze pro čtvercovou matici (další podrobnosti viz Akce s maticemi)

V praxi se můžete nejčastěji setkat s determinantem druhého řádu, např.: , a determinantem třetího řádu, např.: .

Determinant čtvrtého řádu také není starožitnost a přijdeme k němu na konci lekce.

Doufám, že každý pochopí následující: Čísla uvnitř determinantu žijí sama o sobě a o nějakém odčítání nemůže být řeč! Čísla nelze zaměnit!

(Především je možné provádět párové přeskupení řádků nebo sloupců determinantu se změnou jeho znaménka, ale často to není nutné – viz další lekce Vlastnosti determinantu a snížení jeho pořadí)

Pokud je tedy dán nějaký determinant, pak Nedotýkáme se ničeho uvnitř!

Zápis: Pokud je dána matice, pak její determinant je označen . Velmi často se determinant označuje latinkou nebo řečtinou.

1) Co to znamená vyřešit (najít, odhalit) determinant? Vypočítat determinant znamená NAJÍT ČÍSLO. Otazníky ve výše uvedených příkladech jsou úplně obyčejná čísla.

2) Teď zbývá přijít na to JAK toto číslo zjistit? Chcete-li to provést, musíte použít určitá pravidla, vzorce a algoritmy, o kterých se nyní bude diskutovat.

Začněme s determinantem „dva“ po „dvě“:

TOTO JE NUTNÉ SI ZAPAMATOVAT alespoň při studiu vyšší matematiky na vysoké škole.

Podívejme se hned na příklad:

Připraveno. Nejdůležitější je NESMÍT SE VE ZNAMENÍCH.

Determinant matice tři krát tři lze otevřít 8 způsoby, z toho 2 jednoduché a 6 normálních.

Začněme dvěma jednoduchými způsoby

Podobně jako u determinantu dva na dva lze determinant tři na tři rozšířit pomocí vzorce:

Vzorec je dlouhý a je snadné udělat chybu kvůli neopatrnosti. Jak se vyhnout nepříjemným chybám? Za tímto účelem byl vynalezen druhý způsob výpočtu determinantu, který se vlastně shoduje s prvním. Říká se tomu Sarrusova metoda nebo metoda „paralelních pásů“.
Spodní řádek je ten, že napravo od determinantu přiřaďte první a druhý sloupec a pečlivě nakreslete čáry tužkou:

Násobiče umístěné na „červených“ úhlopříčkách jsou ve vzorci zahrnuty se znaménkem „plus“.
Násobiče umístěné na „modrých“ úhlopříčkách jsou ve vzorci zahrnuty se znaménkem mínus:

Porovnejte obě řešení. Je snadné vidět, že jde o STEJNOU věc, akorát ve druhém případě jsou faktory vzorce mírně přeskupeny, a co je nejdůležitější, pravděpodobnost, že uděláte chybu, je mnohem menší.

Nyní se podíváme na šest normálních způsobů výpočtu determinantu

Proč normální? Protože v drtivé většině případů je třeba kvalifikanty takto zveřejňovat.

Jak jste si všimli, determinant tři krát tři má tři sloupce a tři řádky.
Determinant můžete vyřešit jeho otevřením podle libovolného řádku nebo libovolného sloupce.
Existuje tedy 6 metod, které se ve všech případech používají stejný typ algoritmus.

Determinant matice se rovná součtu součinů prvků řádku (sloupce) odpovídajícími algebraickými doplňky. děsivé? Vše je mnohem jednodušší, použijeme nevědecký, ale srozumitelný přístup, přístupný i člověku daleko od matematiky.

V dalším příkladu rozšíříme determinant na prvním řádku.
K tomu potřebujeme matici znaků: . Je snadné si všimnout, že znaky jsou uspořádány do šachovnicového vzoru.

Pozor! Znaková matice je můj vlastní vynález. Tento koncept není vědecký, není nutné jej používat při konečném návrhu zadání, pouze vám pomůže pochopit algoritmus pro výpočet determinantu.

Nejprve uvedu kompletní řešení. Znovu vezmeme náš experimentální determinant a provedeme výpočty:

A hlavní otázka: JAK to získat z determinantu „tři na tři“:
?

Takže determinant „tři na tři“ spočívá v řešení tří malých determinantů, nebo jak se jim také říká, MINOROV. Doporučuji si zapamatovat termín, zejména proto, že je zapamatovatelný: vedlejší – malý.

Jakmile je zvolena metoda rozkladu determinantu na prvním řádku, je zřejmé, že se vše točí kolem ní:

Prvky se obvykle zobrazují zleva doprava (nebo shora dolů, pokud byl vybrán sloupec)

Pojďme, nejprve se zabýváme prvním prvkem řádku, tedy jedním:

1) Z matice znaků vypíšeme odpovídající znak:

2) Poté zapíšeme samotný prvek:

3) V MÉNĚ přeškrtněte řádek a sloupec, ve kterém se vyskytuje první prvek:

Zbývající čtyři čísla tvoří determinant „dva po dvou“, který se nazývá MENŠÍ daného prvku (jednotky).

Přejdeme k druhému prvku řádku.

4) Z matice znaků vypíšeme odpovídající znak:

5) Poté napište druhý prvek:

6) V PŮSOBNOSTI škrtněte řádek a sloupec, ve kterém se vyskytuje druhý prvek:

Zbývající čtyři čísla zapíšeme malým determinantem.

No, třetí prvek prvního řádku. Žádná originalita:

7) Z matice znaků vypíšeme odpovídající znak:

8) Napište třetí prvek:

9) V MÉNĚ přeškrtněte řádek a sloupec, který obsahuje třetí prvek:

Zbývající čtyři čísla zapíšeme malým determinantem.

Zbývající akce nepředstavují žádné potíže, protože již víme, jak počítat determinanty dva krát dva. NENECHTE SE ZMÝTIT VE ZNAMENÍCH!

Podobně lze determinant rozšířit přes libovolný řádek nebo do libovolného sloupce. Přirozeně je ve všech šesti případech odpověď stejná.

Pomocí stejného algoritmu lze vypočítat determinant čtyři krát čtyři.
V tomto případě se naše matice znaků zvýší:

V následujícím příkladu jsem rozšířil determinant ve čtvrtém sloupci:

Jak se to stalo, zkuste na to přijít sami. Další informace přijdou později. Pokud chce někdo řešit determinant až do konce, správná odpověď je: 18. Pro procvičení je lepší řešit determinant nějakým jiným sloupcem nebo jiným řádkem.

Procvičování, odkrývání, provádění výpočtů je velmi dobré a užitečné. Ale kolik času strávíte na velké kvalifikaci? Neexistuje rychlejší a spolehlivější způsob? Doporučuji vám seznámit se s efektivními metodami výpočtu determinantů ve druhé lekci – Vlastnosti determinantu. Snížení pořadí determinantu.

Autor: Emelin Alexander

(Přejít na hlavní stránku)

Zaochnik.com – odborná pomoc pro studenty,

15% sleva na vaši první objednávku, zadejte propagační kód při pokladně: 5530-hihi5

© Copyright Alexander Emelin, mathprofi.ru, 2010-2024, vytvořeno v poznámkovém bloku